accorciare il pendolo (parte II - teoria)

[danimazza]

Cari Amici

Ho rivisto alcuni testi di meccanica (un po' impolverati..:???:) ed ho cercato di rielaborare la teoria del Pendolo Composto, limitata al caso di due masse solidali.

Spero questo possa aiutare l'amico Daniele (Sobas66) in quanto da una formula molto 'ostica' per il caso piu' generale si arriva ad una piuttosto semplice per il pendolo a 'barchetta' con due masse eguali rigidamente sospese alla stessa distanza.

Se non ho compiuto errori il periodo P vale...



Come sempre dall'url in calce potete esaminare tutta la parte di calcolo e la formula piu' generale per le due masse m1 e m2 a distanza l1 e l2.

Naturalmente (ri)trovate anche la formula per il pendolo doppio simmetrico in base al quale sto modificando alcune pendole.

Per l'amico Carlo.. Intanto Complimenti per il Nuovo Planetario..!!
Non avevo ancora visto gli aggiornamenti...:oops:
Per le tue considerazioni sulla dilatazione termica del pendolo a barchetta invece, vista la formuletta di cui sopra, le cose dovrebbero andare diversamente da quanto dici..
Infatti e' vero che la temperatura aumenta l1 (elle1) ma e' anche vero che aumenta anche d che sta al denominatore della formula, sotto radice.
I due effetti invece di sommarsi, come dici, tendono ad annullarsi a vicenda e quindi rendono minore la deriva in temperatura.

Cordialità a tutti
Daniele

P.S. per Sobas66 ..Per le alette mi servirebbe un aiutino...meccanico ..
comunque grazie per l'idea

[pendolum]

In altre parole, visto che Pitagora insegna che il quadrato dell'ipotenusa è pari alla somma dei quadrati dei cateti(nei triangoli rettangoli come questo), siamo autorizzati a credere che la lunghezza equivalente del pendolo a barchetta sia:

L1 al quadrato / d =

(d al quadrato + b al quadrato )/d =

d + (b al quadrato)/d

Quindi il pendolo a barchetta equivale ad un pendolo normale con lunghezza pari non alla somma del gambo e dei due bracci ma alla somma del gambo con il quadrato del braccio diviso il gambo.

Che applicato al pendolo di Sobas66 da proprio:

10 + (18x18)/10 = 10+ 324/10 =42,4 cm

Che è molto prossimo al famoso 43cm

Svelato il mistero!! complimenti a danimazza.


(scusate ma non ho saputo scrivere le formule in altro modo)

[Luciano]

Siete eccezionali, grazie a tutti per questo approfondimento sul pendolo.

[carlo]

I due effetti invece di sommarsi, come dici, tendono ad annullarsi a vicenda e quindi rendono minore la deriva in temperatura.

Cordialità a tutti
Daniele

Caro Daniele,
non sono d'accordo.



Prospetti quasi una possibilità di compensazione dell'errore termometrico e forse questo sarebbe possibile ma solo se con l'aumentare di "d" diminuisse "l1 ( il che potrebbe realizzarsi se i bracci laterali fossero di un materiale con coefficente di espansione negativo)

Io credo che le cose stiano in modo diverso:



quindi ad un piccolo aumento di d, corrisponde un grande aumento di l 1 con effetti immaginabili ( secondo la formula finale che ci hai postato) sull'errore termometrico.

Per minimizzare questo errore sarebbe quindi auspicabile che ci fosse solamente un incremento di "d" ma ciò sarebbe possibile solo se l 1 fosse eguale a zero, ovvero che non ci fossero bracci laterali: in poche parole un normalissimo pendolo.

Non va inoltre dimenticato che :



un aumento di temperatura genera una diminuzione della tensione interna del materiale con cui sono formati i bracci per cui essi, sotto l'azione del peso della massa m, oltre ad allungarsi, si piegherebbero ( creando così un l 2 maggiore di l 1-1 con un delta d rimasto invariato ) concorrendo con questa azione anche ad abbassare ulteriormente il centro di gravità del sistema e quindi rendendo l'errore termometrico ancora più insopportabile...

Il tutto se non ho commesso delle sviste.... :oops: :oops:

Cordialità.
Carlo

[khronos]

Carlo,
mi sembra che una piccola svista ci sia nel tuo ragionamento, nel punto in cui dici che, essendo deltaD maggiore di deltaA, l'angolo alfa1 sarà minore di alfa.
Mi sembra che l'angolo non vari, in quanto i due delta sono proporzionali rispettivamente alle due lunghezze (dato per scontato che sono di materiale identico).
Quindi il triangolo, diciamo, si ingrandirà, generando un triangolo simile. IMHO.

[carlo]

Carlo,
mi sembra che una piccola svista ci sia nel tuo ragionamento, nel punto in cui dici che, essendo deltaD maggiore di deltaA, l'angolo alfa1 sarà minore di alfa.Mi sembra che l'angolo non vari, in quanto i due delta sono proporzionali rispettivamente alle due lunghezze (dato per scontato che sono di materiale identico).
Quindi il triangolo, diciamo, si ingrandirà, generando un triangolo simile. IMHO.

Se , come dallo schizzo, A ha una maggiore lunghezza di D ed e se ci riferiamo a due "bracci" ( un'asta del pendolo ed un braccio) che hanno le altre dimensioni e coefficenti di dilatazione eguali, credo di poter affermare che delta A sia maggiore di delta D. Ne consegue che la "dilatazione" del triangolo non è proporzionale ma ne altera completamente la "forma" originale.

Quindi per un maggior incremento di delta A rispetto a delta D , l'angolo alfa tende a diminuire.

Cordialità.
Carlo

[khronos]

Ripeto, i delta sono proporzionali alle relative lunghezze di partenza.
Ad esempio, esagerando per questioni di chiarezza l’ampiezza delle variazioni, poniamo che A sia inizialmente 100 e vari del 10%, diventa 110(delta di A=10), poniamo altresì che D sia inizialmente 50, varia del 10%, diventa 55(delta di D = 5).
Non c'è dubbio che deltaA sia maggiore di deltaD, ma il nuovo triangolo che si viene a formare avrà i due cateti di 110 e 55 e l'ipotenusa parallelo a quello del triangolo originario. I due triangoli vengono chiamati simili, ed hanno la caratteristica di mantenere tutti e tre gli angoli uguali. Almeno, questo ricordo, dagli studi di geometria di tanti... troppi anni fa.
Non riesco ad allegare un disegno, ma prova a riportare sul tuo schizzo entrambi i delta vicino all'ipotenusa e traccia un ipotenusa parallelo.

[danimazza]

Non credevo di suscitare un cotale interesse!! :shock:

Comunque ho letto con attenzione le considerazioni di Carlo e di Khronos e devo dire che secondo me il triangolo non si deforma aumentando la temperatura.

Almeno fintanto che il coefficiente di dilatazione termica (alfa) rimane anisotropo l'angolo alfa non varia e non vi è alcuna distorsione della geometria del pendolo a barchetta. Il tringolo rimane simile, cioe' con gli angoli eguali

Per i metalli di solito alfa è anisotropo (eccetto casi particolari)

Comunque ho di nuovo rispolverato alcuni testi :???: e con un po' di pazienza (le lezioni sono finite e anche gli esami uff..) ho
provato ad analizzare l'effetto della temperatura sul periodo del pendolo generico (semplice o composto) giungendo a risultati inaspettati, almeno per me (se non ci sono sviste..)

Tutto nasce dal fatto che una lunghezza L scaldata di DT (deltaT) si allunga a L(1+alfa*DT) (vedi anche Wikipedia)

Date un'occhiata qui e poi fatemi sapere
Descrizione completa! :shock:

Per maggiori dettagli sulla terminologia o altro-->http://staff.polito.it/daniele.mazza/clocks, argomento 1

Cordialità a tutti

Daniele

[pendolum]

Dunque: facciamo un altro ragionamento.

La formula della dilatazione termica di un solido è:

deltaL= L x gamma x deltat

Cioè l'allungamento è proporzionale alla lunghezza dell'oggetto.

Se assumiamo che le due barre del pendolo siano dello stesso materiale, a parità di incremento di temperatura l'allungamento sarà una percentuale costante della lunghezza delle barre.

Quindi se nel triangolo iniziale, ad esempio, "a" è il doppio di "d". Dopo la dilatazione termica "a1" continuerà ad essere il doppio di "d1".

Quindi il triangolo non cambia forma :wink:

Consideriamo dunque questo esempio:

Se a è il doppio di d, la lunghezza del pendolo equivalente, per la formula che ho esposto nel mio topic precedente, sarà pari a 5d (vi ricordate?d+4d), cioè, in questo caso, ma solo in questo caso, esattamente pari alla somma della lunghezza del gambo con quella della intera barra (d+a+a), visto che a è il doppio di d.

Quindi se d si dilata, diciamo del 2%, anche a si dilaterà del 2% quindi la somma d1+a1+a1 sarà più lunga del 2% rispetto a quella di d+a+a.

ma anche se avessi avuto un pendolo normale lungo come la lunghezza equivalente (5d), si sarebbe sempre dilatato del 2%.

Quindi se ho un pendolo a barchetta in cui d si dilata del 2% divenendo d1 o ho un pendolo normale lungo 5d che si dilata anche lui del 2% divenendo 5d1, le cose non cambiano, in quanto il periodo del pendolo a barchetta continuerà ad essere matematicamente uguale a quello del pendolo equivalente lungo 5d1.

In altre parole il pendolo equivalente è sempre in relazione proporzionale alla lunghezza del gambo d (cioè d+nquadrod dove n è il rapporto costante tra a e d) per cui una dilatazione del gambo d produce una variazione nella lunghezza del pendolo equivalente pari a quella a cui sarebbe soggetto un pendolo normale lungo come il pendolo equivalente.

Direi quindi che i due pendoli hanno la stessa sensibilità al variare della temperatura (se consideriamo sufficientemente rigida la barra orizzontale e trascuriamo quindi il fatto che allungandosi aumenta il braccio e quindi aumenta il momento generato dai due pesi alle estremità che tende a deformare la barra).

Ho sbagliato qualcosa?

[carlo]

Quindi il triangolo non cambia forma :wink:

A prima vista direi che le tue considerazioni sono esatte ed io almeno una svista l'ho commessa :oops: :oops:

Vedo però che il dubbio attanaglia un pò tutti :

Il tutto se non ho commesso delle sviste....

(se non ci sono sviste..)

Ho sbagliato qualcosa?

Mi espongo nuovamente ( i miei studi son distanti anni luce :oops:) sostenendo che mi ha sconvolto la frase conclusiva della pagina che ci ha indicato Daniele a fronte di queste conclusioni:
P(T) = 2π√(Leq(1+α·T)/g) = √(1+α·T) · P(0) (1)
dove
P(0) = 2π√(Leq/g) (2)

La conclusione recita:
Il risultato è indipendente dalla geometria del pendolo

non mi è completamente chiaro cosa si intenda in questo caso per geometria del pendolo ovvero se si tenga o no conto dell'errore circolare

e poi :e persino dall'accelerazione di gravità (si ha lo stesso ritardo ai poli, all'equatore e persino su marte , la luna o altrove, anche se ovviamente il periodo del pendolo cambia)

ma il "g" che è nella (2) come ha fatto a scomparire?

Nel suo esempio, il Nostro dice:
Il che significa che in un giorno l'orologio pilotato dal pendolo medesimo ritarda di 3600*24*0,000285 = 24,6 sec

Quindi si presume che consideri un pendolo da 1 secondo , pendolo il cui periodo cambia, salvo imprevisti, con il cambiare di g! Oppure no?

E giusto per rimanere in tema.....sempre non abbia commesso una ulteriore svista....

Cordialità.
carlo

[danimazza]

Il risultato dell'applicazione delle semplici formule della dilatazione termica lineare (che sia lineare è gia un'approssimazione..ma comunque) al periodo di un pendolo semplice o composto mi hanno davvero stupito, ma soprattutto per la loro semplicità. :shock:

Se sono vere, come credo, tante leggende metropolitane si dissolvono, come quella che un pendolo corto sia piu' sensibile agli sbalzi termici ed induca un maggiore errore di uno lungo, che il pendolo composto (due masse ) sia anche lui poverino afflitto dal difetto di variare il periodo piu' di quello classico per effetto di delta T etc.etc.

Ma comunque, cerchiamo innanzitutto di dissolvere i (legittimi) dubbi di Carlo e di altri lettori, immagino.

1- geometria del pendolo
In effetti e' piu' corretto dire forma del pendolo o dell'oggetto oscillante.
Come pendolo intendo qui qualunque oggetto rigido sospeso ad un asse di rotazione. Anche il pendolo semplice, certo, ma anche altri piu' complessi
L'errore circolare affligge sia il pendolo semplice che il composto che qualunque altra forma oscillante per gravità esattamente nello stesso modo. Qui supponiamo che le oscillazioni siano piccole e che quindi il moto sia armonico (cioe' confondiamo sen(theta) con theta(in radianti))

2- P(T) = 2π√(Leq(1+α·T)/g) = √(1+α·T) · P(0)

'g' influenza ovviamente sia P(0) che P(T) ma in maniera identica cosi' che il loro rapporto, che vale √(1+α·T), non dipende da 'g' ma solo dalla variazione di temperatura e dal coeff. di dil.

3- che significa che in un giorno l'orologio pilotato dal pendolo medesimo ritarda di 3600*24*0,000285 = 24,6 sec

Facciamo un esempio: un pendolo con un periodo di 4 sec ed uno di 1 sec, entrambi funzionanti su di un orologio esattamente regolato.
L'effetto del DeltaT sara' quello di produrre su entrambi la stessa variazione percentuale nel periodo
Supponiamo che √(1+α·T) = 1,001
Il periodo dei due pendoli diverra' 4,004 e 1,001 .

Certo la variazione per il primo pendolo e maggiore di 4 volte, ma batte esattamente 900 volte all'ora mentre l'altro 3600. Alla fine tutti e due gli orologi hanno lo stesso ritardo.

Se ci spostiamo su marte, dobbiamo variare la lunghezza dei due pendoli per via di 'g' diverso, in modo che riprendano il loro periodo di 4 e 1 sec.

Dopo questa regolazione l'effetto della temperatura sara' il medesimo.. ed il ritardo esprimibile dalla sempre valida formula (2)

Ora mi concedo una pausa domenicale e naturalmente auguro Buona Domenica a Tutti.:wink: :wink:

[carlo]

Qui supponiamo che le oscillazioni siano piccole e che quindi il moto sia armonico (cioe' confondiamo sen(theta) con theta(in radianti))

assunzione moderatamente legittima , ma se non è dichiarata, con che diritto si può disconoscere l'influenza dell'errore circolare?

....'g' influenza ovviamente sia P(0) che P(T) ma in maniera identica cosi' che il loro rapporto, che vale √(1+α·T), non dipende da 'g' ma solo dalla variazione di temperatura e dal coeff. di dil.

Se non sbaglio, direi che in questo caso il tutto vale per un valore di "g" costante, ma nulla vieta di pensare che nell'arco di tempo in cui si concretizza una variazione di temperatura durante la quale "b" è passato a b = b(0) · (1+α·T) non si abbia anche una variazione di "g", per cui bisignerebbe tenerne conto.... a meno che non si assuma "g" costante, ....ma bisognerebbe dirlo.... almeno credo :oops:

Spero che tutti abbiano trascorso una buona Domenica.

Cordialità.
Carlo

[danimazza]

assunzione moderatamente legittima , ma se non è dichiarata, con che diritto si può disconoscere l'influenza dell'errore circolare?

L'errore circolare si puo' trascurare per piccoli angoli, sia nel pendolo semplice che nel composto. Nel composto occorre semplicemente sostituire la lunghezza con la lunghezza equivalente nella formula del periodo.

nulla vieta di pensare che nell'arco di tempo in cui si concretizza una variazione di temperatura durante la quale "b" è passato a b = b(0) · (1+α·T) non si abbia anche una variazione di "g",

L'accelerazione di gravità non cambia durante la dilatazione termica ma varia (di pochissimo) soltanto se ci si sposta sulla superficie del globo.(la terra non e' esattamente sferica ma dilatatata all'equatore e quindi cambia la distanza dal centro della terra e quindi g. Inoltre all'equatore si ha la forza centrifuga dovuta alla rotazione della terra che diminuisce g)

[carlo]

L'errore circolare si puo' trascurare per piccoli angoli, sia nel pendolo semplice che nel composto. Nel composto occorre semplicemente sostituire la lunghezza con la lunghezza equivalente nella formula del periodo.

...e se non si vuole?....

L'accelerazione di gravità non cambia durante la dilatazione termica ma varia (di pochissimo) soltanto se ci si sposta sulla superficie del globo.(la terra non e' esattamente sferica ma dilatatata all'equatore e quindi cambia la distanza dal centro della terra e quindi g. Inoltre all'equatore si ha la forza centrifuga dovuta alla rotazione della terra che diminuisce g)

...e le fluttuazioni della crosta terrestre, i movimenti dei magma che compongono il nucleo della terra non concorrono a cambiare g ? ....

Siamo d'accordo, valori infinitesimali per quanto riguarda le nostre considerazioni, ma non certamente eguali a zero...

Carlo

[carlo]

....ah dimenticavo un altro fattore che fa cambiare consistentemente "g": le maree...

Cordialità.
Carlo

[magajo]

....ah dimenticavo un altro fattore che fa cambiare consistentemente "g": le maree...

Cordialità.
Carlo

sbagli Carlo, le Maree sono una conseguenza, non un fattore determinante.
il fattore determinante invece è la fase lunare.